\hfill \thepage} %} \newtheorem{theorem}{Theorem} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture} \newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{definition}[theorem]{Definition} \newtheorem{example}[theorem]{Example} \newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise} \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition} \newtheorem{remark}[theorem]{Remark} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \input{tcilatex} \begin{document} \subsection{MATC 1200, Calculus for Business and Social Sciences} \subsection{Lab 4 The Derivative: Week of April 20, 2009\protect\vspace{0.1in% }} This lab reinforces the interpretation of the derivative as the slope of the tangent line to the graph of a function and as the instantaneous rate of change of a function.\vspace{0.1in} \begin{enumerate} \item \textsf{Equation of a Tangent line:} \ First we will think about how the derivative relates to the equation of a tangent line. \ Let's consider the function:\vspace{0.1in}\FRAME{dtbpFUX}{3.4688in}{2.3125in}{0pt}{\Qcb{$% f(x)=-\frac{7}{2}x^{3}+28x^{2}+\frac{1155}{2}x-3150$}}{}{Plot}{\special% {language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3.4688in;height 2.3125in;depth 0pt;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;mustRecompute FALSE;lastEngine "MuPAD";xmin "0";xmax "20";xviewmin "0";xviewmax "20";yviewmin "-4000";yviewmax "3000";viewset"XY";rangeset"X";plottype 4;axesFont "Times New Roman,12,0000000000,useDefault,normal";numpoints 100;plotstyle "patch";axesstyle "normal";axestips FALSE;gridLines TRUE;xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};function \TEXUX{$-\frac{7}{2}x^{3}+28x^{2}+\frac{1155}{2}x-3150$};linecolor "black";linestyle 1;pointstyle "point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";var1range "0,20";num-x-gridlines 100;curveColor "[flat::RGB:0000000000]";curveStyle "Line";VCamFile 'KI8D410W.xvz';valid_file "T";tempfilename 'KI8D400D.wmf';tempfile-properties "XPR";}}\vspace{0.1in} \begin{enumerate} \item Think about the tangent line to the curve at $x=12$. \ Sketch the tangent line to the graph of $f(x)$ at $x=12$ above.\vspace{0.1in} \item What are the \thinspace$(x,y)$-coordinates of the point that intersects this tangent line and the graph of $y=f(x)$? \ Use \textsf{SN} to help with any calculations and show your work below.\vspace{0.1in} \item Add this point to the graph (if you haven't already).\vspace{0.1in} \item Recall that the derivative $f\,^{\prime}(x)$\textbf{\ represents the slope of the tangent line} to the graph of $f(x)$. \ This time, we won't use the formal definition of the derivative to find $f\,^{\prime}(x)$. \ We will let \textsf{SN }do all the work for us. \ Just \textbf{define }your function $f(x)$ and \textbf{evaluate} $f\,^{\prime}(x)$. \ Notes: \ Do not attempt to define $f\,^{\prime}(x)$; you will make \textsf{SN} very unhappy. \ Use the apostrophe for the "prime". \ Also, make sure there are not any spaces between $f$ and the apostrophe and DO\ NOT use a superscript. \ Write $% f\,^{\prime }(x)$ below.\vspace{0.1in} \item What is the slope of the tangent line when $x=12$? \ (Hint: Use \textsf{SN} to evaluate the derivative at the appropriate $x$ value.)\vspace{% 0.1in} \item Find the equation for the tangent line to graph of $f(x)$ by using the point and slope that you found. \ Put your final answer into slope-intercept form.\vspace{0.1in} \item Now graph $f(x)$ and your tangent line in your \textsf{SN} work file, to confirm that you have found the correct tangent line. (If it does not look correct then try again!)\vspace{0.1in} \item Look at the graph of $f(x)$ given at the top of this lab report. \ How many places do you see where the tangent line to the graph of $f(x)$ will be horizontal? \ Approximate corresponding $x-$value(s) and write them below.% \vspace{0.1in} \item Next, write down an equation that will give you the $x-$coordinates of all points on the graph of $f(x)$ where the tangent line is horizontal.% \vspace{0.1in} \item Use \textsf{SN} to solve your equation exactly.\vspace{0.1in} \item Now express all of the solutions to $2$ decimal places.\vspace{0.1in} \item Graph $f(x)$ in your \textsf{SN} work file and choose a window so you can see all of the places where $f(x)$ has a horizontal tangent line. \ Write your $xy$ window below in the form $[a,b]\times\lbrack c,d].$\vspace{% 0.1in} \item Find the $(x,y)$-coordinates for each point on the graph of $f(x)$ that has a horizontal tangent line. \ (Use your decimal approximations from part (k) in your calculations.)\vspace{0.1in} \item Now find the equations for each of the horizontal tangent lines to the graph of $f(x)$. \ (You could add them to the graph of $f(x)$ in your \textsf{SN} work file to see that they are correct).\vspace{0.1in} \end{enumerate} \item \textsf{Instantaneous Rate of Change:} \ Now we will think about how the derivative relates to the instantaneous rate of change of a function. \ Based on real-word data, a mathematical model was found for the number of people in the US receiving their care in an HMO from the beginning of 1984 through 1995. \ The function below gives the number of people in millions receiving care at an HMO where $x$ is measured in years since $1984$% .\smallskip% \begin{equation*} g(x)=0.0514x^{3}-0.583x^{2}+6.8147x+15.6524\text{ \ for }0\leq x\leq11 \end{equation*} \smallskip \begin{enumerate} \item Plot the graph of $g(x)$ in the viewing window $[0,12]\times \lbrack0,90]$ in your \textsf{SN} work file. \ Sketch the result below.% \FRAME{dtbpFX}{3.6461in}{2.431in}{0pt}{}{}{Plot}{\special{ language "Scientific Word"; type "MAPLEPLOT"; width 3.6461in; height 2.431in; depth 0pt; display "USEDEF"; plot_snapshots TRUE; mustRecompute FALSE; lastEngine "MuPAD"; xmin "0"; xmax "11"; xviewmin "0"; xviewmax "11"; yviewmin "0"; yviewmax "90"; viewset "XY"; rangeset "X"; plottype 4; axesFont "Times New Roman,12,0000000000,useDefault,normal"; numpoints 100; plotstyle "patch"; axesstyle "normal"; axestips FALSE; gridLines TRUE; xis \TEXUX{x}; var1name \TEXUX{$x$}; function \TEXUX{$0$}; linecolor "black"; linestyle 1; pointstyle "point"; linethickness 1; lineAttributes "Solid"; var1range "0,11"; num-x-gridlines 100; curveColor "[flat::RGB:0000000000]"; curveStyle "Line"; VCamFile 'KI8D440X.xvz';valid_file "T"; tempfilename 'KI8D420E.wmf';tempfile-properties "XPR";}} \item How many people were receiving care in an HMO in $1984$? \ (Show your \textsf{SN} calculation and include correct units).\vspace{0.1in} \item How many people were receiving care in an HMO in $1988$? \ (Show your \textsf{SN} calculation and include correct units).\vspace{0.1in} \item How many people were receiving care in an HMO in $1992$? \ (Show your \textsf{SN} calculation and include correct units).\vspace{0.1in} \item Look at the graph of $g(x)$. \ Graphically estimate the year that corresponds to the largest number of people receiving their care in an HMO.% \vspace{0.1in} \item Explain how you know your answer is correct. \ That is, what feature of the graph were you looking for to answer the question?\vspace{0.1in} \item How many people were receiving care at an HMO during the year you found in part (e)? \ (Show your \textsf{SN} calculation and include correct units).\vspace{0.1in} \item At what (instantaneous) rate was the number of people receiving their care at an HMO changing in $1984$? \ (Show your \textsf{SN} calculation and include correct units).\vspace{0.1in} \item At what (instantaneous) rate was the number of people receiving their care at an HMO changing in $1988$? \ (Show your \textsf{SN} calculation and include correct units).\vspace{0.1in} \item At what (instantaneous) rate was the number of people receiving their care at an HMO changing in $1992$? \ (Show your \textsf{SN} calculation and include correct units).\vspace{0.1in} \item Look at the graph of $g(x)$. \ Graphically estimate the year that corresponds to the largest (instantaneous) rate of change of people receiving their care an an HMO.\vspace{0.1in} \item Explain how you know your answer is correct. \ That is, what feature of the graph were you looking for to answer the question?\vspace{0.1in} \item What is the instantaneous rate of change of people receiving care at an HMO during the year you found in part (k)? \ (Show your \textsf{SN} calculation and include correct units).\vspace{0.1in} \item Find the equation (in slope-intercept form) of the tangent line to graph of $g(x)$ at $x=a$ where $x=a$ corresponds to the year you found the rate of change was the largest (in part (k)). \ Show your work below.\vspace{% 0.1in} \item Add your graph of the tangent line to your graph of $g(x)$ in your \textsf{SN} work file to check your work. \ If correct, sketch your line on the graph in part (a).\vspace{0.1in} \item Find the equation (in slope-intercept form) of the tangent line to graph of $g(x)$ at $x=a$ where $x=a$ corresponds to the year 1988. \ Show your work below.\vspace{0.1in} \item Add your graph of the tangent line to your graph of $g(x)$ in your \textsf{SN} work file to check your work. \ If correct, sketch your line on the graph in part (a).\vspace{0.1in} \end{enumerate} \item \textsf{Differentiability: \ }Recall, we say that a function is differentiable at $x=a$ if $f\,^{\prime }(a)$ exists. \ Informally, this means the graph of the function is locally linear at $x=a$ or if you zoom into the graph at $x=a$ the graph looks like a single, non-vertical line.\medskip \FRAME{dtbpFU}{3.2915in}{1.9899in}{0pt}{\Qcb{Graph of $f(x)$ on $[-14,14]$}}{}{Figure}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 3.2915in;height 1.9899in;depth 0pt;original-width 3.8891in;original-height 2.3402in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'KI8D430F.wmf';tempfile-properties "XPR";}}\medskip By looking at the graph of $f(x)$ answer the following questions, thinking about the connection between $f\,^{\prime}(x)$ and the slope of the tangent line.\medskip \begin{enumerate} \item Is the graph of $f(x)$ continuous over the interval $[-14,14]$?\vspace{% 0.1in} \item For what value(s) of $x$ is $f$ not differentiable? \ (i.e., the derivative, $f\,^{\prime}(x)$, does not exist.)\vspace{0.1in} \item For what value(s) of $x$ is $f\,^{\prime}(x)$ $=0$?\vspace{0.1in} \item Is is possible for $f\,^{\prime}(-8)=10$? \ Why or why not?\vspace{% 0.1in} \item Is it possible for $f\,^{\prime}(10)=-6$? \ Why or why not?\vspace{% 0.1in} \item For what values of $x$ is $f\,^{\prime}(x)>0$? \ Give your answer in interval notation.\vspace{0.1in} \item For what values of $x$ is $f\,^{\prime}(x)<0$? \ Give your answer in interval notation. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/Lab4Post.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/KI8D410W.xvz %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ||C^mqFHvUf\sev[nucHqxBLb|cOJpSHD}tPTeETEArPayf]aMGHSeuTTUTS`HR[uAG[oQW[lyB YtQfH~h@OCEf[vEv\`dFY}HB\l}F]OIfZeMF]uPcH`Lt[nMWZsQWYnQWObDcH`pTXy}V]tucHTE fXuqVXrIBHF}v[tUf\F}f[tucHfDF\oMwNsEf[sur\eIWZfYRXp}v\{@RLrHBHOUG]pUG]UyVZt MWObtTSb@BReevYhQWObTCNnHSLv`cH`Xt[oQWYrED[i]f[mUf[tucHCUf[tUf\b@bPaMvZgIw[ uyFYC}F[oIWObLbQFYdQFYdH`Ht[rQVYrMt[l}f\}HrHx@CNp`CLb@bPoIGYeIwUiQF]hucHpHB HLUfYtuTXr]VZnucHqHBHAUG]oAE[aeWOb@cH`HUZgaF]MEf\gef[}HRLb@rUiQF]hucHx\cKsH SMrHBHAyVZmEF]i}f[SQW^lUVObHU]n}d[cUfH`LE\aMVZn]VObDcH`Lt[lUW[nMWOb@cH`Hu[w MWOb@cH``TYaQVYrYt[nQWObXRXp}v\{LWXnMWKsUf\iYfIaAw[smCHqHcH``TYaQVYrED[i]f[ mUf[tucHCUf[tUf\b@bPoQG]ouVSaIwYiyVObDcH`Pu[puTXr]VZnucHqHbOJpsTcUf[eICYSQW ^lUFHBEvXk]f\oUg[dQe\ayv\pEf\eyF]}HBLb@bQo}F]eIgQoyF]}HbIaAw[sms\ayv\mLWYre fYfDF\oMwN`DcLb@BReevYhQWOb`CLb@BSe]VYnQFTlEvXeuVYnQWObHt[tQw[mIBHBEvXk]f\o Ug[dMt[l}f\}HrHFYdQFYdQb@bQo}F]eIWPlevYnuVYnQWObLTYnQWYrIBHLUvYeyFYF}f[tucH fDF\oMwNsEf[sur\eIWZfYRXp}v\{@BNb@bPoIGYeIwPoqv[rucHc`CLx@CNpHBHB}f\dUf\WeF YtaVOb@cH`pTYgUf[dED[i]f[mUf[tucHCUf[tUf\b@BSeYF]MEf\gef[}HRLb@bTi]FZtuTXr] VZnucHqHBHWeFYtaVObDcLpHBHLUvYeyFYVev\iIF[eucHpHBHHUVXdUf\F}f[tucHfDF\oMwNs Ef[sur\eIWZfYRXp}v\{@RLrHBHHUVXdUf\AqVZgyV[eyF]}HrPeyF]eIgH`Ht[tQw[muTXr]VZ nucHqHBHT}F\MEf\gef[}HRLb|bOJpsPo}f\def[aQWYSew\tUV[rPvTteG[eArTcEF[iyvY}HR UnMv[nMG]rEVZnUFYb@BVTevXkMgSuufXeIWObxt[ruVXlIBHXED^iMGUiQG[eED[i]f[mUf[tu cHEyFYb@RVTevXkMgUiMWZbqVY}HRLb@rTuIvYreFYLef[eMt[l}f\}HrHCMtPCMtPb@rTuIvYr eFYLef[e]UZdQGZ}HBLnDcH`dEUiMvZsqTXbUF[sYUZsefXlUVObDcH`DD^eMGSiyVYC}F[oIWO bLBLp@CLp@cH`DD^eMGSiyVYWeFYtaVOb@cKq`cH`PUZcmv\LEfXeqfQoyF]}HbIaAw[smCUiuV YsAbSe]GHR}V[ayfIaAw[smCHx@rHp@CLp@CLb@RVAaWZsQUZtqVYAqVZgyV[eyF]}HRQnQfH`d EUiMvZsyT]mIVYrucHN}f\mEF[b@rPo}f\def[aQWYTeG\eucHLef[Lef[b@rQreFYLef[eME]y qVY}HrToqVZdIBHX]d\iQfUiMWZbqVY}HRLb@rQreFYIyfQr}f[tucHpHBHXED^iMgUiMWZbqVY }HRLb@rTuIvYreFYLef[eME]yqVY}HrToqVZdIBHXMU]b]f\iQfUiMWZbqVY}HBLb@RPxUv\TeF ]lUfQoyF]}HbIaAw[smCUiuVYsAbSe]GHR}V[ayfIaAw[smCHqHCHc@CLp@CLpHBHXQUZcmv\LE fXeqvTteG[eucHH}f\iiw[nQWXlIBHXQUZcmv\BUF]wUVYnucHqHBHY]d\iQfUiMWZbqVY}HRLb @RVAaWZsQUZtqVYOIWZeyF]aQWZoyVOb`t[ref^oyF]aqfH`DD^eMWObDT]t}V[aQWZcIBHAaWY sed[FIw[nQWOb@cH`dUPxev\Vev\iIF[eucHqHBHXQUZcmv\Vev\iIF[eucHqHBHTevXkMGSeyv YtaVObHcH`\d\iQFSiyVYC}F[oIWObLRNydSNydcH`duTuIvYreFYVev\iIF[eucHpHBHXQUZcm v\LEfXeqv\Vev\iIF[eucHqHBHGIWZdqTZnUvUiQF]hucHpxRLb@RVTevXkMGSaIVYlME]yqVY} HBRoIWZz}f[tEF[b@RVTevXkMgPeQw]eUf[}HRLb@RPxUv\TeF\sucHpHrK~h@OOIfZSQW^lUFH TeG\eucHDUfYaUG[tIBHFeF[lMt[l}f\}HrHFYDLp@CLb@BSiyVYC}F[oIgL}HrHFYTLtdsLb@b 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